向量空间
向量是有方向，有大小的箭头，可以在坐标系上用坐标表示。
在二维和三维空间我们可以值观地描述向量。
但在四维空间很难描述一个几何物体，因为人很难想象思维空间的样子。
因此四维空间中，用坐标表示向量反而会更清晰。
向量的性质
在讲向量的时候，我们提到了向量的两个重要性质：
- 向量加法（vector addition）
- 向量数乘（vector）
我们对其进行抽象化，可得：
\[F(\vec{u} + \vec{v}) = F(\vec{u}) + F(\vec{v}) \\ F(k\vec{u}) = kF(\vec{u})\]其中 F 为线性变换函数。
导数的性质
我们对导数的性质进行抽象：
\[\frac d{dx}(f+g)=\frac d{dx}(f)+\frac d{dx}(g)\\ \frac d{dx}(kf)=k\frac d{dx}(f)\]可以发现，导数也符合加法和数乘运算。即导数的运算也是线性的。
因此我们可以用矩阵描述求导
矩阵求导
以 $1,x,x^2,\cdots$ 作为基函数。
则多项式 $x^2+3x+5$ 可用坐标 $(5,3,1)$ 表示。
求导的变换矩阵可表示为：
\[\frac d{dx}=\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \end{bmatrix}\]则多项式 $x^2+3x+5$ 的导数可表示为：
\[\frac d{dx}=\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \frac d{dx}= \begin{bmatrix} 5\\3\\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3\\2\\0 \end{bmatrix}\]即导数为 $3+2x$。
向量空间
向量乘法和求导运算其实都是线性变换。
但线性代数的概念和应用在函数时的概念不同：
线性变换 - 线性算子
点积 - 内积
特征向量 - 特征函数
现实中有很多和向量类似的事物，只要你处理的对象集合具有数乘和相加的性质，那么所有线性代数的概念可以适用这些对象。
广义向量
数学家会将具有相同性质的事物赋予同一个名字，因此向量不再局限于有方向、有大小的箭头。
只要处理的对象集合具有数乘和相加的性质，我们都可以称这些对象为向量。
而向量张成的空间就是向量空间。
这些性质被称为线性代数的公理，但记住公理不是自然法则，而是一个媒介。
如果你处理的事物符合公理，你就可以使用公理之上的性质，如特征向量、基变换等等。
只要符合公理，在数学家眼中处理的对象都是向量。