命题推理
推理是从前提出发推出结论的思维过程。
在命题逻辑中,前提和结论都是命题公式,重点研究推理中用到的方法。
推理
由前提 A 推出结论 B 的形式结构为 $A → B$。
若有 n 个前提,则推理的形式结构为
\[(A_1 ∧ A_2 ∧ \cdots ∧ A_n) → B\]若形式结构为永真式
,则称从前提推出结论的推理正确
,结论是前提的逻辑结论
。否则称推理不正确
。
若 $A → B$ 为永真式,则可记作 $A ⇒ B$。
我们之前学过几种判断永真式的方法:
- 真值表法
- 命题演算
- 主析取范式
推理规则
在证明的任何步骤上,可以
- 前提引入:引入前提。
- 结论引入:将结论作为前提引入。
- 置换规则:使用等值式简化公式。
推理定律
推理定律指永真蕴涵式。主要有以下 8 条:
(1) 附加
\[A ⇒ (A ∨ B)\](2)化简
\[(A ∧ B) ⇒ A\](3)假言推理
\[(A → B) ∧ A ⇒ B\](4)拒取式
\[(A → B) ∧ ¬B ⇒ ¬A\](5)析取三段论
\[(A ∨ B) ∧ ¬B ⇒ A\](6)假言三段论
\[(A →B ) ∧ (B → C) ⇒ (A → C)\](7)等价三段论
\[(A ↔ B) ∧ (B ↔ C) ⇒ (A ↔ C)\](8)构造三段论
\[(A → B) ∧ (C → D) ∧ (A ∨ C) ⇒ (B ∨ D)\]除了上述 8 条,每个等值式均产生 2 个推理定律。
如 $A ⇔ ¬¬A$ 可以产生两条推理定律:
\[A ⇒ ¬¬A \\ ¬¬A ⇒ A\]构造证明法
推理的过程中,不断地用前提推出一些结论,并将已经推出的结论作为新的前提,最终得到我们想要的结论。这种方法称为构造证明法
。
给出以下推理:
\[\text{前提:}p → (q ∨ r), ¬s → ¬q, p ∧ ¬s \\ \text{结论:}r\]推理的证明如下:
\[\begin{align} &\text{1. } p ∧ ¬s &\text{前提引入} \\ &\text{2. } p &\text{1 化简} \\ &\text{3. } ¬s &\text{1 化简} \\ &\text{4. } p → (q ∨ r) &\text{前提引入} \\ &\text{5. } q ∨ r &\text{2 4 假言推理} \\ &\text{6. } ¬s → ¬q &\text{前提引入} \\ &\text{7. } ¬q &\text{3 6 假言推理} \\ &\text{8. } r &\text{5 7 析取三段论} \\ \end{align}\]附加前提证明法
若需要证明的结论也是蕴涵式,如:
\[(A_1 ∧ A_2 ∧ ··· ∧ A_n) → (A → B)\]则其形式结构可转化为:
\[(A_1 ∧ A_2 ∧ ··· ∧ A_n ∧ A) → B\]其中 A 为附加前提
。
归谬法
利用蕴涵等值式可将推理结构转化为:
\[¬(A_1 ∧ A_2 ∧ ··· ∧ A_n ∧ ¬B)\]若附加前提 $¬B$ 和已知前提不相容,则推理正确。