非方阵

非方阵用于不同维数之间的变换。

二维到三维

比如下方的 $3\times 2$ 矩阵：

• $\vec{i}$ 从 $(1, 0)$ 变换到坐标 $(2,-1,-2)$。
• $\vec{j}$ 从 $(0, 1)$ 变换到坐标 $(0,1,1)$。

\[A = \begin{bmatrix}2&0\\-1&1\\-2&1\end{bmatrix}\]

矩阵的列空间是三维空间中一个过原点的二维平面。

矩阵是满秩的，因为列空间的维数与输入空间的维数相同。

矩阵的几何意义是将二维空间映射到三维空间上。

• 两列表明输入空间有两个基向量，即输入空间是二维的。
• 三行表明每个基向量在变换后的坐标用三个维度表示，即输入空间是三维的

三维到二维

三维到二维到变换用 $2\times 3$ 矩阵表示：

• 三列表明输入空间有三个基向量，即输入空间是三维的。
• 两行表明每个基向量在变换后的坐标用两个维度表示，即输出空间是二维的。

二维到一维

一维空间实际上就是数轴。

二维到一维的变换用 $1\times 2$ 矩阵表示：

• 两列代表了变换后的基向量。
• 一行表明基向量只需要一个数字，即数轴上的位置。

二维到一维的变换与点积紧密相关。