矩阵乘法

设想一下，将整个平面逆时针旋转 $90^{\circ}$，再进行一次剪切变换会发生什么？

先旋转再剪切的整体作用称为旋转和剪切的复合变换（Composition）。

矩阵乘法

把旋转矩阵称为 $R$，剪切矩阵称为 $S$，复合矩阵称为 $C$。可以得到：

\[S(R\vec{v}) = C\vec{v}\]

两个矩阵相乘的几何意义：两个线性变换相继作用。

可以注意到，矩阵乘法是从右往左进行的。

不满足交换律

尝试描述以下两个复合变换

• 先旋转再剪切：$SR$
• 先剪切再旋转：$RS$

计算后发现：$SR\neq RS$

也就是说矩阵乘法并不符合交换律。

结合律

矩阵乘法满足结合律：$ABC=(AB)C$

等式两侧均表示三个变换相继作用，结论显然成立。