线性组合
给出两个向量:
\[\vec{i} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\ \vec{j} = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\]则平面直角坐标系上任意一个向量 $\vec{v}$ 都可以用 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 表示:
\[\vec{v} = x\cdot \vec{i} + y\cdot\vec{j} = \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\]称 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 为坐标系的基向量(Basis Vectors)。
称 $\vec{v}$ 被称为这两个向量的线性组合(Linear Combination)。
所有 $\vec{v}$ 组成的集合称为 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 张成的空间(Span)。
线性无关
事实上,基不是唯一的,可以用以下两个向量作为基:
\[\vec{v} = \begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix},\ \vec{w} = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\]坐标系上的任意一个向量都可以用 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 来表示。
这两个向量线性无关(Linearly Independent)。
线性相关
但是并非任意两个向量都适合作为基,如 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 共线:
\[\vec{v} = \begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix},\ \vec{w} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\]此时 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 张成的空间是 $x$ 轴,不能表示 $x$ 轴之外的向量。
因此称这两个线性相关。