克莱姆法则

克莱姆法则是求解方程组的一种方法，但不是最好的方法。

比如高斯消元法会算得更快。

本文讲克莱姆法则仅仅为了拓展视野。

阅读本文会帮你加深对线性方程组的理解。

举例

以下面方程组为例：

\[\begin{cases} 2x-1y=4\\ 0x+1y=2 \end{cases}\]

用矩阵乘法表示为：

\[\begin{bmatrix} 2&-1\\0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\\2 \end{bmatrix}\]

几何意义

对线性方程组简化表示为：

\[A\vec{x}=\vec{v}\]

几何含义是：有一个向量 $\vec{x}$ 经过线性变换 $A$ 后，和向量 $\vec{v}$ 重合。

$A$ 的行列式若为零，要么无解，要么有无穷个解。

这里只考虑行列式不为零的情况。也就是说只考虑不发生降维的情况，此时结果唯一。

面积

将 $A\vec{x}=\vec{v}$ 看作线性变换，则 A 表示变换后都基向量组成的矩阵。

A 的行列式表示面积的伸缩因子。

考虑以 $\vec{i},\vec{j}$ 组成的平行四边形，面积为 1，经过变换 A 后面积变为 $|A|\cdot 1$。

考虑以 $\vec{i},\vec{x}$ 组成的平行四边形，面积为 y，经过变换 A 后面积变为 $|A|\cdot y$。

因此我们有如下等式：

\[y = \frac{ \begin{vmatrix} 2&4\\0&2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2&-1\\0&1 \end{vmatrix} }\]