基变换

在平面坐标系中，我们一般会采用 $(\vec{i},\vec{j})$ 作为基向量。

如向量 $(3, 2)$ 可表示为：

\[\begin{bmatrix} 3\\2 \end{bmatrix} = 3\vec{i} + 2\vec{j}\]

但可以采用不同的基向量来表示一个平面：

\[\vec{a}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix},\ \vec{b}=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\]

此时向量 $(3,2)$ 在基向量 $(\vec{a},\vec{b})$ 上的表达为：

\[\begin{bmatrix} 3\\2 \end{bmatrix} = \frac53\vec{a} + \frac13\vec{b}\]

对上式做一些调整可得：

\[\begin{bmatrix} 3\\2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{a}&\vec{b}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5/3\\1/3 \end{bmatrix}\]

其中 $\begin{bmatrix}\vec{a}&\vec{b}\end{bmatrix}$ 为基变换。

含义是将 $(\vec{a},\vec{b})$ 所表示的向量转换为 $(\vec{i},\vec{j})$ 表示。

旋转

在二维平面中，以 $(\vec{i},\vec{j})$ 为基向量，则旋转 $90^{\circ}$ 的变换矩阵为：

\[A=\begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{bmatrix}\]

若以 $(\vec{a},\vec{b})$ 为基向量，则其旋转 $90^{\circ}$ 的过程可分解为：

用矩阵表示为：

\[\begin{bmatrix} 2&-1\\ 1&1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&-1\\ 1&1 \end{bmatrix}\]

即 $Q^{-1}AQ=B$，也就是说 B 和 A 的作用相同，但应用在不同的基向量上。

我们称 A 与 B 相似。