求导
导数描述了某个点附近的最佳近似，因此微小变化量是导数的本质。
让我们先从幂函数的导数说起吧。
\[\frac{dx^n}{dx}=nx^{n-1}\]面积增量
$A=x^2$ 表示边长为 $x$ 的面积。
$x$ 的微小增量 $dx$ 会引起 $A$ 的微小增量 $dA$。
$A$ 的几何意义是正方形，其面积增量为：
\[dA = xdx + xdx + (dx)^2\]因此对应的导数为：
\[\frac{dA}{dx} = 2x\]体积增量
$V=x^2$ 表示边长为 $x$ 的体积。
$V$ 的几何意义是正方体，其面积增量为：
\[dV=3x^2dx + (\cdots)(dx)^2\]因此对应的导数为：
\[\frac{dV}{dx}=3x^2\]对于大于 3 的自然数，其推理规则类似。
幂函数导数
从面积增量到体积增量，我们能推到出
\[\frac{d(x^n)}{dx}=nx^{n-1}\]反函数
尝试从几何角度解读 $1/x$ 的导数。
$1/x$ 的图像可以解读为面积为 1 的矩形。
\[x\cdot \frac1x=1\]此时给 x 一个微小的底边增量 $dx$，则有：
\[-\frac1x dx= (x+d(\frac1x))d(\frac1x)\]左边表示增加的面积，右边表示减少的面积，左边的负号表示将增加变为减少。
化简即可得到：
\[\frac{d(1/x)}{dx} = -(1/x^2)-\frac{d(1/x)}{x}\cdot\frac{d(1/x)}{dx}\]由于 $d(1/x)$ 是趋于 0 的，而 $x$ 是定值，得：
\[\frac{d(1/x)}{dx} = -x^{-2}\]根号
来求一下 $\sqrt{x}$ 的导数，$\sqrt{x}$ 和 $x$ 关系如下：
\[\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x\]则给 x 一个微小的面积增量 $dx$，则有：
\[dx=2\sqrt{x}d\sqrt{x}+d\sqrt{x}\cdot d\sqrt{x}\]化简可得：
\[\frac{d\sqrt{x}}{dx}=\frac1{2\sqrt{x}}+\frac{d\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{d\sqrt{x}}{dx}\]由于 $d\sqrt{x}$ 是趋于 0 的，而 $\sqrt{x}$ 是定值，得：
\[\frac{d\sqrt{x}}{dx}=\frac1{2\sqrt{x}}\]正弦函数
三角函数是单位圆中 $\theta$ 与其他边的关系函数。
对于一个微小的角度增量 $\theta$，微观角度下是条直线，根据三角形相似有：
\[\frac{d(\sin\theta)}{d\theta}=\frac{\cos\theta}1\]你也可以利用同样的方法求 $\cos\theta$ 的导数。