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1. 行列式的本质定义(第一种定义)

如 \(D_2 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\) 解释:

将第一行作为一个向量 $\alpha_1 = (a_{11} , a_{12})$ ,第二行作为一个向量 $\alpha_2 = (a_{21},a_{22})$ ,那么根据我们高中学的知识可知

$S = D_2 = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

其中 S 是两个向量围成的四边形面积。

当行列式的阶数为 3 时,表示的是 3 维物体的体积。

当行列式的阶数为 n 时,其结果为以这 n 个向量为邻边的 n 维图形的体积。

2. 行列式的性质

  1. 行列互换,其值不变,即 $\mid A \mid = \mid A ^T \mid$
  2. 行列式中某行(列)元素全为零,则行列式为零。
  3. 行列式某行(列)元素有公因子 $k(k\neq 0)$ ,则 k 可提到行列式外面。逆过程称之为 “倍乘” 性质。
  4. 行列式中某行(列)元素均是两个元素之和,则可拆成两个行列式之和
  5. 行列式中两行(列)互换,行列式的值反号。
  6. 行列式中的两行(列)元素相等或对应成比例,则行列式为零。
  7. 行列式中某行(列)的 k 倍加到另一行(列),行列式的值不变。(3 、4 和 6 的结合推导出)

3. 行列式的逆序数法定义(第二种定义)

3.1 排列和逆序

  1. 排列

    由 n 个数 $1,2,3,\cdots,n$ 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列,如 23145 是一个 5 级排列, 41352 也是一个 5 级排列,n 级排列共有 $n!$ 个。

  2. 逆序

    在一个 n 级排列 $i_1i_2\cdots i_s\cdots i_t \cdots i_n$ 中,若 $i_s > i_t$ ,且 $i_s$ 排在 $i_t$ 前面,则称这两个数构成一个逆序。

  3. 逆序数

    一个排列中,逆序的总数称为改排列的逆序数,记为 $\tau(i_1i_2\cdots i_n)$ ,如 $\tau(231546) =3$ ,$\tau(621534)=8$ 。由小到大顺排的排列称为自然排序,显然,自然排序的逆序数为 0 。

  4. 奇排列和偶排列

    排列的逆序数为奇数时,该排列称为奇排列;排列的逆序数为偶数时,该排列称为偶排列。

3.2 n 阶行列式的定义

$n(n\ge 2)$ 阶行列式

为 \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}\) 解释:

这里 $\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n}$ 表示对所有 n 个列下标排列求和,故为 $n!$ 项之和。注意到行下标已经排列,而列下标是任一个 n 级排列,故每一项由取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积组成,每项的正负号取决于 $ (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}$ ,当列下标为奇排列时,应附加负号;当列下标为偶排列时,应附加正号。

4. 行列式的展开定理(第三种定义)

阶数超过 3 阶的行列式,用前面的定义方法计算难免过于复杂,下面提出行列式的展开定理。

4.1 余子式

在 n 阶行列式中,去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 i 行、第 j 列元素,由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的 n-1 阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式,记作 $M_{ij}$ ,

即 \(M_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}\)

4.2 代数余子式

余子式 $M_{ij}$ 乘 $(-1)^{i+j}$ 后称为 $a_{ij }$ 的代数余子式,记作 $A_{ij}$ ,即

$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

显然也有 $M_{i+j}=(-1)^{i+j}A_{ij}$

4.3 行列式按某一行(列)展开的展开公式

行列式的值等于行列式的某行(列)元素分别乘其相应的代数余子式后再求和,

即 \(\mid A \mid = \begin{cases} a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} +\cdots + a_{in}A_{in} = \sum\limits_{j=1}^na_{ij}A_{ij}(i=1,2,\cdots,n) \\ a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} +\cdots + a_{nj}A_{nj} = \sum\limits_{i=1}^na_{ij}A_{ij}(j=1,2,\cdots,n) \\ \end{cases}\) 但

行列式的某行(列)元素分别乘另一行(列)元素的代数余子式后再求和,结果为零,即

$a_{i1}A_{k1} + a_{i2}A_{k2} +\cdots + a_{in}A_{kn} =0,i\neq k;$

$a_{1j}A_{1k} + a_{2j}A_{2k} +\cdots + a_{nj}A_{nk} =0,j\neq k.$

5. 几个重要的行列式

5.1 主对角线行列式(上(下)三角形行列式)

即 \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \prod\limits_{i=1}^na_{ii}.\)

5.2 副对角线行列式

即 \(\begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,n-1} & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 & 0 \end{vmatrix} \\ = (-1)^{n(n-1)/2}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}\)

5.3 拉普拉斯展开式

设 A 为 m 阶矩阵,B 为 n 阶矩阵,

则 \(\begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} =\mid A \mid \mid B\mid.\) 和 \(\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} C & A \\ B & O \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} O & A \\ B & C \end{vmatrix} =(-1)^{mn}\mid A \mid \mid B\mid.\) 称

以上的 12 个行列式为 “基本形” 行列式

5.4 范德蒙德行列式

记 \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)\)