Professordeng's Blog

1. 行列式的计算

1.1 消零化基本形法

  1. 考试中遇到求行列式是非基本形的,利用展开定理化为多个基本形相加。
  2. 爪形行列式将第一行行列式化为零就可转化为基本形求解
  3. 每一行都是 1~n 的循环行列式,累次降维,重复 n 次
  4. 行列式有很多但是很离散的零的行列式,结果行列交换等基本变化将零集中到一起,然后利用拉普拉斯变换即可。

1.2 加边法

有些行列式一开始可能不易使用 “倍乘” 、“互换” 和 “倍加” 等性质,这时候可以给行列式进行升维。将 n 阶行列式升至 n+1 阶行列式。在第一列添加 $[1,0,0,\cdots,0]^T$ ,第一行随便构造。

1.3 数字归纳法和递推法

对行列式进行观察得到 $D_{n+1}$ 和 $D_n$ 的递推式。

1.4 用范德蒙德行列式

2. 余子式和代数余子式的线性组合的计算


习题

  1. 设 \(\mid A \mid = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}\) 计算

    最后一行元素对应的代数余子式之和。

  2. 计算 n 阶行列式

    \[D_n = \begin{vmatrix} a_1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ a_2 & x & -1 & \cdots & 0 & 0\\ a_3 & 0 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots&\vdots &\\ a_{n-1}& 0 & 0 & \cdots & x &-1\\ a_n & 0 & 0 & \cdots & 0&x \end{vmatrix}\]

习题答案

  1. 最后一行元素和余子式无关,全部置 1 后求行列式即可。
  2. 第 n 行展开定理得到递推式。