Professordeng's Blog

1. 二次型的定义及其矩阵表示

n 元变量 x1,x2,...2xn 的二次齐次多项式

f(x1,x2,...,xn)=a11·x1^2 + 2a12·a1·x2 + ... + 2a1n·x1·xn
                         +   a22·x2^2 + ... + 2a2n·x2·xn
                                      + ... 
                                            + annxn^2

称为 n 元二次型,简称二次型。

我们这里只考虑系数 a_ij 为实数的情况,且称此二次型 f 为实二次型。

因为 xixj=xjxi ,若令 a_ij=a_ji ,则 2aij·xi·xj=aij·xi·xj+aji·xj·xi ,则有

f(x1,x2,...,xn)=ΣΣaij·xi·xj

如果直接全部拆开称为完全展开式,上式称为和式。

将系数排列成一个 n 阶矩阵,则二次型可表示为 f(x)=x^TAx ,该式称为二次型 f(x1,x2,...,xn) 的矩阵表达式,实对称矩阵 A 称为二次型 f(x) 的矩阵,这里需要着重多说几句。

二次型的矩阵 A 是一个对称矩阵,其中 A=(a_ij),a_ij=a_ji ,即满足 A^T=A 。为什么要强调这一点呢?

事实上,一个二次型可以有不同的写法,代表二次型的矩阵也就不唯一了,不利于研究二次型问题,现在我们立了 “规矩”,规定二次型的矩阵必须是对称矩阵,代表二次型的矩阵就是唯一的。所以只有对称矩阵才是二次型的矩阵,也只有用对称矩阵表达的式子才是二次型的矩阵表达式。(P192 注例)。

2. 合同变换,二次型的合同标准形、规范形

2.1 线性变换的定义

若列向量 y 和列向量 x 满足 x=Cy,则称上式为 y 到 x 的线性变换。若系数矩阵 C 可逆,则称为可逆线性变换。现给出 f(x)=x^TAx ,令 x=Cy,则

f(x)=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y

B=C^TAC ,则 f(x)=y^TBy=g(y)

此时,二次型 f(x)=x^TAx 通过线性变换 x=Cy 得到一个新二次型 g(y)=y^TBy

2.2 矩阵合同的定义与性质

设 A,B 为 n 阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵 C,使得

C^TAC = B

则称 A 与 B 合同,记作 A ≃ B。此时称 f(x)g(y) 为合同二次型。

可以看出,在二次型背景下,A 表征的是 f(x)=x^TAx 的 “形态”,B 表征的是 g(y)=y^TBy 的 “形态”,但毕竟 f(x)=g(y) ,是同一个东西,所谓 A,B 分别表征了不同的 “形态”,无非是因为在 x 向量组的参照系与在 y 向量组的参照系下看到的是同一个事物的不同 ”形态“ 罢了。

一个正常摆放的冬瓜,由于相机的视角不同,看到的也就不同,但是冬瓜一直没有变,变的只是我们的相机坐标系罢了。

同样的,在二次型中,A 与 B 的合同,就是指同一个二次型在可逆线性变化下的两个不同状态的联系。

合同有以下三个性质:

  1. A ≃ A(反身性)
   : E^TAE=A
  1. 若 A ≃ B,则 B ≃ A(对称性)

    : C^TAC=B, 左乘一个 (C^T)^-1,右乘一个 C^-1
    
  2. 若 A ≃ B,且 B ≃ C,则 A ≃ C(传递性)

    : 两个合同就有两个式子,将其中一个带入另一个即可
    

特别指出的是,由矩阵合同的定义知,若 A≃B,则有 r(A)=r(B) ,因此有重要结论:可逆线性变换不会改变二次型的秩。由于在二次型中,二次型的矩阵都是对称矩阵,所以和对称矩阵合同的矩阵也必是对称矩阵。这当然是因为若 A≃B ,即存在可逆矩阵 C,使得 C^TAC=B ,其中 A^T=A ,则

B^T=(C^TAC)^T=C^TA^TC=C^TAC=B

2.3 二次型的标准形、规范形

若二次型中只含有平方项,没有交叉项(即所有交叉项的系数全为零),即形如

d1·x1^2 + d2·x2^2 + ... + dn·xn^2 的二次型称为标准形。

若标准形中,系数 di(i=1,2,...,n) 仅为 1,-1,0 的二次型称为规范形。

若二次型 f(x)=x^TAx 合同于标准形 g(x) ,则称 g(x) 为 f(x) 的合同标准形(如果是规范形则是合同规范形)。

任何二次型均可通过配方法(作可逆线性变换)化成标准形及规范形,用矩阵语言表述:任何实对称矩阵 A,必存在可逆矩阵 C,使得 C^TAC=ʌ ,其中 ʌ 是标准形或规范形。

任何二次型也可以通过正交变换化成标准形,用矩阵语言表达即是任何实对称矩阵 A,一定存在正交矩阵 Q,使得

Q^-1AQ=Q^TAQ=ʌ

其中 ʌ 是特征值组成的对角矩阵。

在众多实际问题中,人们都会将二次型化成标准形、规范形,因为它们是 “最佳形态” 。

3. 惯性定理

无论选取什么样的可逆线性变换,将二次型化成标准形或规范形,其正项个数 p,负项个数 q 都是不变的,p 称为正惯性指数,q 称为负惯性指数。

1. 若二次型的秩为 r,则 r=p+q,合同变换不改变正、负惯性指数
2. 两个二次型(或实对称矩阵)合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数,或有相同的秩及正(或负)惯性指数

4. 正定二次型及其判别

4.1 定义

n 元二次型 f(x)=x^TAx ,若对任意的 x 不为零向量,均有 f(x)>0 ,则称 f 为正定二次型,称二次型的对应矩阵 A 为正定矩阵。

4.2 二次型正定的充要条件

n 元二次型 f(x) 正定 ↔ 对任意 x≠0,有 f(x)>0 (定义)

↔ f 的正惯性指数 p=n

↔ 存在可逆矩阵 D,使 A=D^TD

↔ A ≃ E

↔ A 的特征值 λi>0

↔ A 的全部顺序主子式均大于 0。

det Ak 称为 n 阶矩阵 A  k 阶顺序(或左上角)主子式,当 k  1,2,...,n 时,就得 A  n 个顺序主子式 

4.3 二次型正定的必要条件

  1. aii>0(i=1,2,...,n)
  2. |A|>0