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1. 矩阵的相似

1.1 定义

设 A,B 是两个 n 阶方阵,若存在 n 阶可逆矩阵 P,使得 P^-1AP=B ,则称 A 相似于 B,记成 A~B

1. A~A (反身性)
2.  A~B,则 B~A (对称性)
3.  A~B,B~C,则 A~C (传递性)这个性质以后常用

1.2 相似矩阵的性质

  1. 若 A~B,则有

    1. r(A)=r(B)
    2. |A|=|B|
    3. |λE-A|=|λE-B|
    4. A,B 有相同的特征值
    以上结论,反之不成立. 例如 A = 1 0  , B = 1 1 
                               0 1        0 1
    
  2. 若 A~B,则 A^m~B^mf(A)~f(B) (其中 f(x) 是多项式)(例 8.9)

  3. 若 A~B,且 A 可逆,则 A^-1~B^-1f(A^-1)~f(B^-1) (其中 f(x) 是多项式)

    证:P^-1AP=B,两边取逆
    
  4. 若 A~B,则 A^T~B^T

    证:P^-1AP=B,两边转置
    
  5. 若 A~B,且 A 可逆,则 A^*~B^*

    证:P^-1AP=B,两边取伴随运算
    
  6. P^-1A1P=B1,P^-1A2P=B2 ,则 P^-1A1A2P=P^-1A1PP^-1A2P=B1B2 ,即 A1A2~B1B2

2. 矩阵的相似对角化

2.1 定义

设 n 阶矩阵 A,若存在 n 阶可逆矩阵 P,使得 P^-1AP=ʌ ,其中 ʌ 是对角矩阵,则称 A 可相似对角化,记为 A~ʌ,称 ʌ 是 A 的相似标准形。

2.2 矩阵可相似对角化的条件

由定义可知,若 A 可相似对角化,即 P^-1AP=ʌ ,其中 P 可逆,等式两边同时左乘 P,有 AP=Pʌ ,记 P=[ξ1,ξ2,...,ξn] ;ʌ 是 对角矩阵,其对角线上的值是不同的特征值。即

[Aξ1,Aξ2,...,Aξn]=[λ1ξ1,λ2ξ2,...,λnξn]
 Aξi = λiξi

由 P 可逆,则 ξ1,ξ2,...,ξn 线性无关。上述过程可逆,于是

  1. n 阶矩阵 A 可相似对角化 ⇿ A 有 n 个线性无关的特征向量。
  2. n 阶矩阵 A 可相似对角化 ⇿ A 对应于每个 ki 重特征值都有 ki 个线性无关的特征向量。
  3. n 阶矩阵 A 有 n 个不同特征值 → A 可相似对角化。
  4. n 阶矩阵 A 为实对称矩阵 → A 可相似对角化。

以上 1,2 为 A 可相似对角化的必要条件;3,4 为 A 可相似对角化的充分条件。

3. 实对称矩阵必可相似于对角矩阵

A^T=A ,则 A 为对称矩阵,进一步,若组成 A 的元素都是实数,则 A 为实对称矩阵

  1. A 是实对称矩阵,则 A 的特征值是实数,特征向量是实向量(不用证)
  2. 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量相互正交(例 8.15)
  3. 实对称矩阵 A 必相似于对角矩阵,即必有 n 个线性无关的特征向量 ξ1,ξ2,...,ξn ,即必有可逆矩阵 P=[ξ1,ξ2,...,ξn] ,使得 P^-1AP=ʌ ,其中 ʌ 是对角线上全是特征向量的对角矩阵,且存在正交矩阵 Q,使得 Q^-1AQ=Q^TAQ=ʌ ,故 A 正交相似于 ʌ(不用证,熟练掌握方法与步骤)(例 8.17)