Professordeng's Blog

1. 基本概念

设 A 是 n 阶矩阵,λ 是一个数,若存在 n 维非零列向量 ξ≠0,使得

Aξ=λξ

则称 λ 是 A 的特征值,ξ 是 A 的对应于特征值 λ 的特征向量。

Aξ=λξ  (λE-A)ξ=0
 ξ≠0,故 |λE-A|=0 ,该式称为 A 的特征方程,是未知数 λ  n 次方程,有 n 个根(重根按重数计)
λE-A 称为特征矩阵,|λE-A| 称为特征多项式 

2. 基本性质

2.1 特征值的性质

设 n 阶矩阵,λi 是 A 的特征值,则

  1. Σλi=Σa_ii
  2. ∏λi=|A|
 3 阶矩阵为例,有
a11+a22+a33 = λ1 + λ2 +λ3
|A| = λ1λ2λ3

证明方法就是假设并计算得到多项式对应系数相等。

2.2 特征向量的性质

  1. k 重特征值 λ 至多只有 k 个线性无关的特征向量(直接使用,不用证明)
  2. 若 ξ1,ξ2 是 A 的属于不同特征值 λ1,λ2 的特征向量,则 ξ1,ξ2 线性无关(例 7.9)
  3. 若 ξ1,ξ2 是 A 的属于同一特征值 λ 的特征向量,则 k1ξ1+k2ξ2 (k1、k2 不同时为零)仍是 A 的属于特征值 λ 的特征向量(例 7.11)
  4. 设 A 为 n 阶矩阵,Aξ1=λ1ξ1Aξ2=λ2ξ2λ1≠λ2ξ1≠0ξ2≠0 ,则当 k1≠0k2≠0 时,k1ξ1+k2ξ2 不是 A 的特征向量(例 7.12)