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1. 线性方程组与向量组其实是一回事

方程组的系数矩阵为 A。

A + 常数项的列向量就成为增广矩阵。

方程组的未知数就是向量组中各成员的系数。

x1α1 + x2α2 + ... + xnαn = β

从本质上来说,方程组问题就是向量组问题,方程组和向量组是同一个问题的两种表现形式,其本质一样,所以解决方法也一样。

求解线性方程组,就是对增广矩阵作初等变换,化成行阶梯形矩阵,然后求解,这个基本方法贯彻这门课程始终。

接下来,该方程组有无穷多解时,如何表示出所有的解?这又是某个(无穷)向量组用什么 “代表” 来表示的问题,这个 “代表” 就是基础解系。于是,解线性方程组便成了这一部分的关键。所以:解方程组所得到的解其实就是描述向量与向量之间关系的表示系数罢了。

2. 齐次线性方程组

Ax=0 称为齐次线性方程组。x 是未知数列向量,A 是系数矩阵。

2.1 有解的条件

r(A)=n 时(A 的列向量组线性无关),方程组 Ax=0 有唯一零解

r(A)=r < n 时(A 的列向量线性相关),方程组 Ax=0 有非零解,且有 n-r 个线性无关解。

2.2 解的性质

若 Aξ1=0,Aξ2=0,则 A(k1ξ1 + k2ξ2)=0,k1 和 k2 是任意常数。

2.3 基础解系和解的结构

  1. 基础解系:设 ξ1,ξ2,...,ξ_(n-r) 满足

    1. 是方程 Ax=0 的解
    2. 线性无关
    3. 方程组 Ax=0 的任一解均可由 ξ1,ξ2,...,ξ_(n-r) 线性表出

    则称 ξ1,ξ2,...,ξ_(n-r) 为 Ax=0 的基础解系

  2. 通解

    基础解系的线性组合就是方程 Ax=0 的通解。

2.4 求解方法与步骤

  1. 将系数矩阵 A 作为初等行变换化成阶梯形矩阵 B(或最简阶梯形 B),初等行变换将方程组化为同解方程组,故 Ax=0 和 Bx=0 同解,只需解 Bx=0 即可。
  2. 按列找出一个秩为 r 的子矩阵(左上角的一个上三角 r 阶方阵),则剩余列的位置的未知数即设为自由变量。(记住不能全为 0,不然非零解都不见了。。。)
  3. 按基础解系定义求出 ξ1,ξ2,...,ξ_(n-r) 并写出通解。

3. 非齐次线性方程组

Ax=b

其中 A 是系数矩阵,x 是未知数列向量,b 是常数项列向量

[A,b] 称为矩阵 A 的增广矩阵。

3.1 有解的条件

r(A)≠r([A,b]) (b 不能由 A 的列向量线性表出),则方程 Ax=b 无解

r(A)=r([A,b])=n (即 A 的列向量线性无关,[A,b] 线性相关),则方程 Ax=b 有唯一解。

r(A)=r([A,b])=r<n ,则方程组 Ax=b 有无穷多解。

3.2 解的性质

设 η1,η2,η 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解,ξ 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的解,则

  1. η1-η2 是 Ax=0 的解
  2. kξ+η 是 Ax=b 的解。

3.3 求解方法与步骤

将增广矩阵作初等变换成阶梯形(或最简阶梯形)矩阵,求出对应齐次线性方程组的通解,再加上一个非齐次线性方程组的特解即是非齐次线性方程组的通解。

  1. 写出 Ax=b 的导出方程组 Ax=0,并求 Ax=0 的通解 k1ξ1+k2ξ2+...+k_(n-r)ξ_(n-r)
  2. 求出 Ax=b 的一个特解 η
  3. 则 Ax=b 的通解为 k1ξ1+k2ξ2+...+k_(n-r)ξ_(n-r)+η