Professordeng's Blog

1. 线性代数中的一号人物(向量)

前面指出,矩阵中的若干个行(列)都是向量,它们之间存在着某种联系,这种联系说到底就是线性无关的向量个数(独立信息的个数)的问题。也就是说着若干个向量组成的向量中,有几个就足够代表这个向量组,其他的向量都可以由这几个向量线性表示出来。

进一步地,我们可以通过仔细排查,找到在一个向量组中,能够代表该向量组中所有成员的一组向量,把它们组成的向量组叫作原向量组的极大线性无关组,这个组就是原向量组的 “代表”。事实上,“代表” 的个数就是独立信息的个数,这个个数就叫作向量组的秩,秩是唯一的。

极大线性无关组是向量组的 “代表”,而矩阵就是由向量组拼成的,所以矩阵的秩,向量组的秩都反映了 “代表” 的问题,本质完全相同。

我们致力于搞清楚的就是向量与向量之间的关系,这种关系 “非白即黑”,要么线性无关(”独立”),要么线性相关(“多余”)。在充斥着诸多抽象理论和方法的向量组问题上,只有把握住上述重要观点,才不会迷失方向。

2. 向量及向量组的线性相关性

2.1 向量的概念和运算

  1. n 维向量

    n 个数构成的一个有序数组 [a1,a2,...,an] 称为一个 n 维向量,记成 α=[a1,a2,...,an] ,称 α 为 n 维行向量,α^T 是 n 维列向量,ai 称为向量 α(或 α^T)的第 i 个分量。

  2. 相等。两向量均为 n 维向量且相应分量都相等,则这两个向量相等。

  3. 加法。两向量相加,等于对应分量相加。

  4. 数乘。kα 等于对应分量乘 k。

2.2 向量组的线性相关性的概念

  1. 线性组合

    k1α1+k2α2+...+kmαm
    

    上式得到的向量是向量组 α1,α2,...,αm 的线性组合。

  2. 线性表出。

    β=k1α1+k2α2+...+kmαm
    

    β 由 m 个向量线性表出。

  3. 线性相关

    k1α1+k2α2+...+kmαm = 0
    

    若存在一组系数 k 不全为 0,则向量组线性相关。含有零向量或成比例的向量的向量组必线性相关。

  4. 线性无关

    非线性相关就是线性无关。

    单个非零向量,两个不成比例的向量均线性无关。

2.3 判别线性相关性的 7 大定理

  1. 线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余的 n-1 个向量线性表出。(P83)

    其逆否命题:线性无关的充要条件是任一向量都不能由其余的 n-1 个向量线性表出。

  2. 若向量组线性无关,而加上 β 后线性相关,则 β 可由原向量组线性表出,且表示法唯一。(P83)

  3. 如果向量组 B 可由向量组 A 线性表示,且 B 的向量数比较多,则 B 线性相关。(以少表多,多的相关)(P83)

    等价命题:如果 B 由 A 线性表示,且 B 线性无关,则 B 的向量数 ≤ A 的。

  4. 向量组 A 线性相关的充要条件是 Ax=0 有非零解。

    等价命题:A 线性无关的充要条件是 Ax=0 只有零解。

  5. 仿照 4,如果 β 向量可由向量组 A 线性表示,则存在解 K,使得 AK=β。同时

    r([α1,α2,...,αs])=r([α1,α2,...,αs,β])

    否则,解不出 K,且 r(A)≠r([A,β])

  6. 如果向量组中有一部分向量线性相关,则整个向量组也线性相关(P83)

  7. 如果一组 n 维向量线性无关,那么这些向量各任意添加 m 个分量所得到的新向量(n+m 维)也线性无关的;

    如果向量组线性相关,那么它们各去掉相同的若干分量所得到的新向量组也是线性相关的。(根据 Ax=0 的解来解释)。

3. 极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩

3.1 极大线性无关组

若向量组中部分向量组线性无关,其余向量均可由该部分向量组线性表出,则称该部分向量组为原向量组的极大线性无关组。

向量组的极大线性无关组一般不唯一,只有一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组,一个线性无关向量组的极大线性无关向量组就是该向量组本身。

3.2 等价向量组

若存在两向量组 A,B,其中 A 中的每个向量都可由向量组 B 线性表出,则称 A 可由 B 线性表出。如果 A 和 B 可相互线性表出,则称 A 和 B 是等价向量组,记作 A≌B

等价向量组满足:

  1. A≌A(反身性)
  2. 若 A≌B,则 B≌A(对称性)
  3. 若 A≌B,B≌C,则 A≌C(传递性)

向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。

注意:区分等价向量组和等价矩阵的区别(虽然表示一样)

3.3 向量组的秩

极大线性无关组中所含向量的个数 r 称为向量组的秩,记作 rank(α1,α2,...,αs)=r

等价向量组等秩,反之未必成立。(可以理解为 n 维空间的坐标系)

3.4 有关向量组的秩的重要定理和公式

  1. 三秩相等

    矩阵 A 的秩 = A 的行向量组的秩 = A 的列向量组的秩

  2. 若 A 初等行变换得到 B,则

    1. A 的行向量组和 B 的行向量组是等价向量组。
    2. A 和 B 的任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性。
  3. 设向量组 A 和 B,若B 中向量均可由 A 线性表出,则

    r(B)≤r(A) (这叫降维打击)

4. 向量空间(仅数学一要求)

4.1 基本概念

若向量组 A 是 n 维向量空间 R^n 中的线性无关的有序向量组,则 R^n 中的任意向量均可由 A 线性表出,记表出式为

α = a1ξ1 + a2ξ2 + ... + anξn

称有序向量组 A 是 R^n 的一个基,基向量的个数 n 称为向量空间的维数,而 [a1,a2,...,an] 称为向量 α 在基 A 下的坐标。

4.2 基变换、坐标变换

  1. 若 A 和 B 是 R^n 中的两个基,且有关系 A=BC,则关系式称有由基 B 到基 A 的基变换公式,矩阵 C 称为基 B 到基 A 的过渡矩阵,C 的第 i 列就是基 B 的第 i 个行向量在基 A 下的坐标列向量,且过渡矩阵 C 是可逆矩阵。

  2. 设 α 在基 B 和基 A 下的坐标分别是 x 和 y,即

    α=Bx=Ay

    又基 B 到基 A 的过渡矩阵为 C,即

    A=BC

    α=Bx=Ay=BCy

    x=Cyy=C^-1x