Professordeng's Blog

1. 伴随矩阵及其运算

  1. 对任意 n 阶方阵 A,都有伴随矩阵 A^* ,且有公式

    AA^8=A^*A=|A|E, |A^*|=|A|^(n-1)
    

    |A|≠0 时,有

    A^*=|A|A^-1,A^-1=1/|A|·A^*,A=|A|(A^*)^-1
    (kA)(KA)^* =|KA|E  // 令 B=kA 即可
                       // 同理令 B=A^T
                       // 同理令 B=A^-1
                       // 同理令 B=A^*
    
  2. (A^T)^*=(A^*)^T,(A^-1)^*=(A^*)^-1,(AB)^*=B^*A^*,(A^*)^*=|A|^(n-1)A

注意:(A+B)^* ≠ A^* + B^*

2. 初等变换与初等矩阵

2.1 初等变换

  1. 一个非零常数乘矩阵的某一行(列)
  2. 互换矩阵中某两行(列)的位置
  3. 将矩阵的某一行(列)的 k 倍加到另一行(列)

以上三种变换称为矩阵的初等行(列)变换,且分别称为互换、倍乘、倍加初等行(列)初等行(列)变换。

2.2 初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

  1. E2(k) 表示 E 的第 2 行(或第 2 列)乘 k 倍,称为倍乘初等矩阵。
  2. E12 表示 E 的第 1,2 行(或第 1,2 列)互换,称为互换初等矩阵。
  3. E31(k) 表示将第 1 行的 k 倍加到第 3 行(或第 3 列的 k 倍加到第 1 列),称为倍加初等矩阵。

2.3 初等矩阵的性质

  1. 初等矩阵的转置仍是初等矩阵。
  2. 初等矩阵都是可逆矩阵,且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵。
  3. 若 A 是可逆矩阵,则 A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积。
  4. 对 n 阶矩阵 A 进行初等行变换,相当于矩阵 A 左乘相应的初等矩阵。同样,对 A 进行初等列变换,相当于矩阵 A 右乘相应的初等矩阵。

2.4 用初等变换求逆矩阵的方法

[A | E] ---- 初等行变换----> [E | A^-1]

A                             E
E  ------  初等列变换------->  A^-1

3. 等价矩阵和矩阵的等价标准形

设 A,B 均是 m×n 矩阵,若存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQ=B,则称 A,B 是等价矩阵,记作 A≌B。

若 r(A)=r,则存在一个 A 的等价标准形矩阵,如下

PAQ = E^r O
      O   O

等价标准形是唯一的。

4. 矩阵的秩

4.1 定义

矩阵 A 中最大的不为零的子行列式的阶数称为矩阵 A 的秩,记为 r(A) 。

若存在 k 阶子式不为零,而任意 k+1 阶子式全为零(如果有的话),则 r(A)=k

r(A)=n ⇿ n 阶矩阵 A 可逆 ⇿ |A|≠0

4.2 初等变换不改变矩阵的秩

  1. 性质

    设 A 是 m×n 矩阵,P,Q 分别是 m 阶、n 阶可逆矩阵,则

    r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

  2. 证明

    A=P^-1(PA),利用 r(AB)min{r(A),r(B)}( 3 中不等式) , 
    r(A)=r[P^-1(PA)]r(PA)r(A)
     r(PA)=r(A), 同理可证其余等式
    

4.3 有关秩的等式和不等式

设 A 是 m×n 矩阵,B 是满足有关矩阵运算要求的矩阵,则:

  1. 0≤r(A)≤min{m,n} (由定义)

  2. r(kA)=r(A)(k≠0) (由定义,不影响子行列式是否为零的计算)

  3. r(AB)≤min{r(A),r(B)} (例 5.18)

  4. r(A+B)≤r(A)+r(B) (例 5.19)

  5. 分块对角矩阵 C 的对角线上为 A,B,则 r(C)=r(A)+r(B) (例 5.20)

  6. 分块下三角矩阵 D 的对角线上为 A,B,左下角为 C,有 r(A)+r(B)≤r(D)≤r(A)+r(B)+r(C) (例 5.20)

  7. r(AB)≥r(A)+r(B)-n (见例 5.21)

    当 AB=O 时,r(A)+r(B)≤n ,n 是 A 的列数(或 B 的行数)

  8. r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA) (例 6.28)

  9.          n, r(A)=n
    r(A^*) = 1, r(A)=n-1, 其中 A  n 阶矩阵(例 5.25
             0, r(A)<n-1
    
  10. 若 A 是 n 阶方阵,A^2=A,则 r(A)=r(E-A)=n (例 5.22)

  11. 若 A 是 n 阶方阵,A^2=E,则 r(A+E)+r(A-E)=n (例 5.23)