Professordeng's Blog

1. 矩阵的本质

假如英语系有 98 个女生,2 个男生;机械系有 95 个男生,5 个女生,利用表格表示如下

  英语系 机械系
男生人数 2 95
女生人数 98 5

从列看,表达了同个系的男女人数;从行看,表达了同个性别的不同系的人数。

可以得出矩阵的初步认识,那就是表达系统信息。又如下面矩阵

1 2 3
6 7 9
2 4 6

这时,我们不必再给这个矩阵赋予具体背景了,总之,可以抽象为一个系统信息的表达。

这里提供两个重要观点,在后面的学习中慢慢参悟。

  1. 矩阵也是由若干行(列)向量拼成的

上面那个矩阵可以看作由三个行向量组成,也可以看作由三个列向量组成。

  1. 矩阵不能运算,但是其若干行(列)向量之间存在着某种联系

    例如 [1,2,3][2,3,4] 这两个向量是平行的(存在线性关系),其他组向量却不平行,这种关系反映了矩阵的本质,也就是矩阵的秩,上面的矩阵的秩为 2 。

矩阵的秩的定义:最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩,记为 r(A)

若 n×n 矩阵的秩也为 n,则矩阵可逆。

同时也可以看出,矩阵秩的本质就是组成该矩阵的线性无关的向量的个数。

2. 矩阵的定义及其基本运算

2.1 矩阵的定义

由 m×n 个数排成 m 行 n 列的矩形表格,称为一个 m×n 矩阵。

当 m=n 时,称为 n 阶方阵。

两矩阵行列都相同,称为同型矩阵。

2.2 矩阵的基本运算

  1. 相等。同型矩阵中对应位置的元素相等,则两矩阵相等。
  2. 加法。同型矩阵相加 = 对应位置的元素相加形成的新矩阵。
  3. 数乘矩阵。kA 的结果是 A 中对应位置的元素乘 k 得到的新矩阵。

加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算,满足下列运算规律:

  1. 交换律:A+B=B+A
  2. 结合律:(A+B)+C=A+(B+C)
  3. 分配律:k(A+B)=KA+KB,(k+l)A=kA+lA
  4. 数和矩阵相乘的结合律:k(lA)=(kl)A=l(kA)

其中,A,B,C 是同型矩阵,k,l 是任意常数。

当 n 阶方阵 A 计算行列式时,记成 |A|

1, |kA|=k^n|A|
2. 一般,|A+B|  |A| + |B|
3. AO 不能得到 |A|0
4. AB 不能得到 |A|B

3. 特殊矩阵

  1. 零矩阵:每个元素均为零的矩阵,记为 O

  2. 单位矩阵:主对角元素均为 1,其余元素全为零的 n 阶方阵,称为 n 阶单位矩阵,记成 E(或 I)。

  3. 数量矩阵:数 k 和单位矩阵的乘积称为数量矩阵。

  4. 对角矩阵:非主对角元素均为零的矩阵称为对角矩阵。

  5. 上(下)三角矩阵:当 i>(<)j 时,a_ij=0 的矩阵称为上(下)三角矩阵。

  6. 对称矩阵:a_ij=a_ji 的矩阵称为对称矩阵

  7. 反对称矩阵:a_ij=-a_ji 的矩阵称为反对称矩阵

  8. 正交矩阵:设 A 是 n 阶方阵,满足A^TA=E,则称 A 是正交矩阵。

    A 是正交矩阵 ⇿ A^TA=E ⇿ A^T=A^-1 ⇿ A 的行(列)向量组是标准正交向量组。(P41)

4. 分块矩阵

4.1 矩阵的分块

用几条纵线和横线把一个矩阵分成若干小块,每一小块称为原矩阵的子块,把子块看作原矩阵的一个元素,就得到了分块矩阵。

例如按列分块,得到 B=[B1,B2,...,BN] ;按行分块类似。

4.2 分块矩阵的基本运算

  1. 加法:同型,且分法一致,则相应块相加即可。

  2. 数乘:相应块乘 k 即可。

  3. 乘法:将块当成元素,进行相应向量点积即可,和矩阵乘法一样,要保证块之间可乘、可加。

    注意:对于 3 的运算,分块相乘后,左边的仍再左边,右边的仍在右边,因为块也是小矩阵,矩阵的乘法是不符合交换律的。

  4. 若 A,B 分别为 m,n 阶方阵,则分块对角矩阵的幂为对角块 A 和 B 的分别的幂。(P42)

    1. AB=O,则对 B  O 按列分块,得到 A[β1,β2,...,βn]=[0,0,...,0],即 Ax=0 形式
    2.  B,C 按行分块,A 直接展开,得到 γi=ai1β1+ai2β2+...+ainβn
        C 的行向量是 B 的行向量的线性组合
       类似地,若 A,C 按列分块,B 展开,同意可以得到 C 的列向量是 A 的列向量的线性组合。
    

5. 矩阵的逆

5.1 逆矩阵的定义

  1. 定义

    AB=BA=E,则称 A 为可逆矩阵,并称 B 是 A 的逆矩阵,且逆矩阵是唯一的,记作 A^-1 。

  2. 伴随矩阵

    将行列式 |A| 的 n^2 个元素的代数余子式形成的矩阵称为 A 的伴随矩阵,记作 A^*

    且有 AA^*=A^*A=|A|E

  3. A 可逆的充要条件是 |A|≠0 此时 A^-1=1/|A|·A^*

5.2 逆矩阵的性质

设 A,B 是同阶可逆矩阵,则

  1. (A^-1)^-1 = A
  2. 若 k≠0,则 (kA)^-1=1/k·A^-1
  3. AB 也可逆,且 (AB)^-1=B^-1A^-1
  4. A^T 也可逆,且 (A^T)^-1=(A^-1)^T ,此处可称为 “穿脱” 原则,即穿衣时先内后外,脱衣时先外后内
  5. |A^-1|=|A|^-1

注意:A+B 不一定可逆,且 (A+B)^-1 ≠ A^-1 + B^-1

5.3 求逆矩阵的方法

  1. 伴随矩阵法

    A^-1=1/|A|·A^*

  2. 初等变换法

    [A | E] → [E | A^-1]

  3. 定义法

    求一个矩阵 B,使 AB=E

  4. 乘积求逆法,即若 A=BC,则

    A^-1=(BC)^-1=C^-1B^-1

  5. 分块矩阵的逆,分为主对角和副对角两种情况。

    主对角:对角线上的 A 和 B 分别求逆即可。

    副对角:对角线上的 A 和 B 分别求逆后交换位置即可。